在物理学的广阔领域中，量子力学无疑占据着举足轻重的地位。作为描述微观世界的基本理论，它不仅揭示了原子和亚原子粒子的行为规律，还为现代科技的发展奠定了坚实的理论基础。然而，对于许多初学者而言，量子力学的概念和公式往往显得抽象而复杂。因此，在学习过程中，习题练习成为了掌握这一学科的重要环节。

下面，我们将通过一些典型的习题及其详细解答来帮助大家更好地理解量子力学的核心概念。

习题一：波函数归一化

设一个粒子的波函数为ψ(x) = Ae^(-α|x|)，其中A和α是常数。求出使得该波函数归一化的系数A。

解答：

波函数归一化的条件是：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x)|^2 dx = 1 \]

代入波函数表达式：

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |Ae^{-\alpha|x|}|^2 dx = 1 \]

由于|x|的存在，我们需要分两部分计算积分：

\[ \int_{-\infty}^{0} A^2 e^{-2\alpha(-x)} dx + \int_{0}^{+\infty} A^2 e^{-2\alpha x} dx = 1 \]

经过计算可得：

\[ A = \sqrt{\alpha / \pi} \]

习题二：能量本征值问题

考虑一个无限深势阱中的粒子，其势能定义为：

\[ V(x) =

\begin{cases}

0, & 0 < x < a \\

\infty, & \text{其他情况}

\end{cases} \]

求解粒子的能量本征值。

解答：

在势阱内部（0 < x < a），薛定谔方程简化为：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]

解得波函数形式为：

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) \]

对应的能量本征值为：

\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \quad n = 1, 2, 3, ... \]

以上就是两个典型的量子力学习题及其解答。希望这些例子能够帮助大家加深对量子力学基本原理的理解。当然，要真正掌握这门学科，还需要大量的练习与思考。通过不断探索和实践，相信每位学生都能在量子力学的世界里找到属于自己的乐趣与成就。