在众多高等学府中，复旦大学以其悠久的历史和卓越的学术成就闻名于世。作为中国顶尖高校之一，复旦大学每年的自主招生考试都备受瞩目。尤其是其数学试题，不仅考察了考生的基础知识掌握情况，更注重考查学生的逻辑思维能力和创新能力。本文将对复旦大学自主招生考试中的部分数学试题进行分析，并提供详细的解答过程。

一、选择题

题目1：

设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求方程 \( f(x) = 0 \) 的所有实数解。

解析：

首先观察到 \( f(x) \) 是一个三次多项式函数。我们可以通过因式分解法来寻找其零点。

注意到 \( f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0 \)，因此 \( x = 1 \) 是一个根。接下来使用长除法或综合除法将 \( f(x) \) 分解为 \( (x-1)(x^2 + x - 2) \)。进一步分解二次项 \( x^2 + x - 2 \)，得到 \( (x-1)(x+2)(x-1) \)。因此，方程 \( f(x) = 0 \) 的所有实数解为 \( x = 1 \)（重根）和 \( x = -2 \)。

答案：\( x = 1 \)（重根），\( x = -2 \)

二、填空题

题目2：

已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的首项为 \( a_1 = 5 \)，公差为 \( d = 3 \)，则第 \( n \) 项 \( a_n \) 表达式为 ________。

解析：

根据等差数列的通项公式 \( a_n = a_1 + (n-1)d \)，代入已知条件 \( a_1 = 5 \) 和 \( d = 3 \)，得：

\[ a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2 \]

答案：\( a_n = 3n + 2 \)

三、解答题

题目3：

证明：对于任意正整数 \( n \)，不等式 \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} < 1 \) 成立。

解析：

考虑分式 \( \frac{1}{k(k+1)} \) 可以拆分为部分分式：

\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \]

因此，原和式变为：

\[ \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \]

这是一个典型的望远镜求和，中间项全部抵消后仅剩首尾两项：

\[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{n+1} \right) = 1 - \frac{1}{n+1} \]

显然，当 \( n \to \infty \)，该表达式趋于 1，但对于有限 \( n \)，由于 \( \frac{1}{n+1} > 0 \)，所以 \( 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \)。

答案：证毕。

以上便是复旦大学自主招生考试中涉及的一些典型数学题目及其详细解答。这些题目不仅涵盖了基础知识点，还体现了对学生综合能力的要求。希望对准备参加此类考试的同学有所帮助！