在数学分析中，有两个非常重要的极限公式，它们不仅在理论研究中有重要作用，也是解决实际问题的重要工具。这两个公式分别是：
公式一：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
这个公式表明，当变量 $x$ 趋近于零时，函数 $\frac{\sin x}{x}$ 的值趋近于 1。这个极限的证明通常依赖于几何方法或泰勒展开。直观上，当角度 $x$ 很小时，$\sin x$ 的值接近于弧长 $x$，因此比值 $\frac{\sin x}{x}$ 趋近于 1。
公式二：$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
这个公式定义了自然对数的底数 $e$。当变量 $n$ 趋向无穷大时，表达式 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ 的值趋近于 $e$。这个公式在微积分和概率论中有着广泛的应用，尤其是在连续复利计算和指数增长模型中。
这两个公式的应用范围非常广，从物理学中的波动方程到金融学中的复利计算，都能看到它们的身影。掌握这两个公式及其推导过程，对于深入理解高等数学具有重要意义。
