在概率论与数理统计中，伽马分布是一种广泛应用的概率分布模型，它在物理学、工程学以及金融学等领域都有着重要的应用价值。伽马分布的定义基于两个参数：形状参数 \( k \) 和尺度参数 \( \theta \)，或者有时使用速率参数 \( \lambda = 1/\theta \)。

伽马分布的概率密度函数

伽马分布的概率密度函数为：

\[

f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0

\]

其中，\( \Gamma(k) \) 是伽马函数，定义为：

\[

\Gamma(k) = \int_0^\infty t^{k-1} e^{-t} dt

\]

伽马分布的期望

伽马分布的期望值 \( E(X) \) 可以通过其概率密度函数计算得出。利用伽马函数的性质，可以证明：

\[

E(X) = k \theta

\]

这意味着，伽马分布的期望值等于形状参数 \( k \) 与尺度参数 \( \theta \) 的乘积。

伽马分布的方差

同样地，伽马分布的方差 \( Var(X) \) 也可以通过其概率密度函数计算得出。经过推导可得：

\[

Var(X) = k \theta^2

\]

这表明，伽马分布的方差是形状参数 \( k \) 与尺度参数 \( \theta \) 平方的乘积。

结论

伽马分布在实际应用中具有灵活性强、适应性广的特点。通过上述公式，我们可以方便地计算出伽马分布的期望和方差，从而更好地理解和分析相关数据的分布特性。这些性质使得伽马分布在处理连续随机变量时显得尤为有用。