在解析几何领域中，椭圆作为一种重要的二次曲线，其性质与参数计算一直备受关注。其中，焦半径作为连接椭圆上任意一点与焦点的线段长度，在研究椭圆的几何特性时起着至关重要的作用。通过坐标表示的方法，我们可以更直观地理解并应用这一概念。

假设我们有一个标准形式的椭圆方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) （其中 \(a > b > 0\)），它的两个焦点分别位于 \((\pm c, 0)\)，这里 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)。对于椭圆上的任意一点 \(P(x_1, y_1)\)，它到左焦点 \(F_1(-c, 0)\) 和右焦点 \(F_2(c, 0)\) 的距离分别被称为该点相对于这两个焦点的焦半径。

根据两点间距离公式，点 \(P(x_1, y_1)\) 到左焦点 \(F_1(-c, 0)\) 的焦半径 \(r_1\) 可以表示为：

\[ r_1 = \sqrt{(x_1 + c)^2 + y_1^2} \]

同样地，点 \(P(x_1, y_1)\) 到右焦点 \(F_2(c, 0)\) 的焦半径 \(r_2\) 可以表示为：

\[ r_2 = \sqrt{(x_1 - c)^2 + y_1^2} \]

这两个表达式即为我们所说的坐标表示下的焦半径公式。它们不仅揭示了椭圆上每一点与其焦点之间的关系，还为我们提供了计算这些距离的具体方法。

值得注意的是，在实际应用中，利用上述公式可以直接求解某些复杂的几何问题，比如确定椭圆内部或外部特定区域的面积、评估光线经过椭圆反射后的路径等。此外，通过对焦半径公式的进一步分析，还可以推导出更多关于椭圆的重要结论，如离心率的定义及其物理意义。

总之，掌握坐标表示的焦半径公式不仅有助于加深对椭圆特性的理解，而且在解决实际问题时也具有很高的实用价值。希望本文能为大家提供一些有益的启示和帮助。