假设我们需要求解如下极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]
我们首先回忆一下指数函数 \( e^x \) 的泰勒展开式：
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]
当 \( x \) 趋近于 0 时，我们可以只保留前两项，因为高阶项会趋于零。因此，\( e^x \approx 1 + x \) 对于 \( x \) 接近 0 是合理的近似。
现在我们将这个近似代入原极限表达式中：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x) - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1 \]
通过上述步骤，我们得到了极限值为 1。这种方法不仅简单直观，而且避免了直接代入可能带来的复杂运算。
当然，在实际应用中，选择适当的泰勒展开次数取决于具体的问题和所需的精度。此外，对于更复杂的函数组合，可能需要结合其他数学工具如洛必达法则等共同解决问题。
总之，掌握好泰勒公式的使用技巧可以帮助我们在解决各种类型的极限问题时更加得心应手。希望以上内容对你有所帮助！
