在高中数学的学习中，导数与极限是两大核心知识点，它们不仅是理论研究的重要工具，也是解决实际问题的有效手段。特别是在高考数学的压轴题中，这两部分内容常常交织在一起，形成极具挑战性的题目。本文将通过一个具体的例题，探讨如何巧妙地利用导数与洛必达法则来解答这类难题。

一、问题引入

假设我们遇到这样一道题目：已知函数 \( f(x) = \frac{e^x - 1}{x} \)，求当 \( x \to 0 \) 时，\( f(x) \) 的极限值。

二、分析与解法

这道题看似简单，但直接代入 \( x = 0 \) 会发现分母为零，无法直接计算。此时，我们可以借助洛必达法则来解决问题。

洛必达法则指出，若函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在某点 \( x_0 \) 处满足以下条件：

1. \( \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 \) 且 \( \lim_{x \to x_0} g(x) = 0 \)，或者两者均为无穷大；

2. \( f'(x) \) 和 \( g'(x) \) 在 \( x_0 \) 的邻域内存在；

3. \( \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) 存在或为无穷大；

则有 \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \)。

回到我们的题目，显然 \( f(0) = g(0) = 0 \)，符合洛必达法则的应用条件。因此，我们先对分子和分母分别求导：

- 分子 \( e^x - 1 \) 的导数为 \( e^x \)；

- 分母 \( x \) 的导数为 \( 1 \)。

于是，根据洛必达法则，原极限变为：

\[

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} e^x

\]

显然，当 \( x \to 0 \) 时，\( e^x \to 1 \)。因此，最终答案为：

\[

\boxed{1}

\]

三、总结

通过上述分析可以看出，洛必达法则为我们提供了一种有效的工具，帮助我们在面对复杂的极限问题时找到突破口。同时，结合导数的知识，可以更深入地理解函数的变化规律，从而更好地解决实际问题。

希望本文能够为大家在备考过程中提供一些启发和帮助！