【一元二次不等式-习题小练】在学习一元二次不等式的相关知识后，为了更好地掌握解题思路和方法，进行适当的练习是必不可少的。本文将围绕一元二次不等式的典型题目展开练习，帮助大家巩固基础知识，提升解题能力。
一、基本概念回顾
一元二次不等式的一般形式为：
$$
ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{或} \quad ax^2 + bx + c < 0
$$
其中 $ a \neq 0 $。解这类不等式的关键在于找到对应的二次函数图像与x轴的交点，并结合开口方向来判断不等式的解集。
二、常见题型解析
题目1：
解不等式：
$$
x^2 - 5x + 6 > 0
$$
解法步骤：
1. 先求对应方程的根：
$$
x^2 - 5x + 6 = 0
$$
解得：
$$
x = 2, \quad x = 3
$$
2. 画出抛物线图像（开口向上），可知当 $ x < 2 $ 或 $ x > 3 $ 时，函数值大于0。
答案：
$$
x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)
$$
题目2：
解不等式：
$$
-2x^2 + 4x + 6 \leq 0
$$
解法步骤：
1. 先整理不等式，两边同时乘以 -1（注意不等号方向改变）：
$$
2x^2 - 4x - 6 \geq 0
$$
2. 解方程：
$$
2x^2 - 4x - 6 = 0
$$
解得：
$$
x = 3, \quad x = -1
$$
3. 抛物线开口向上，因此不等式成立的区间为：
$$
x \leq -1 \quad \text{或} \quad x \geq 3
$$
答案：
$$
x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)
$$
题目3：
已知不等式 $ x^2 + (m - 1)x + m \leq 0 $ 的解集为 $ [-2, 1] $，求实数 $ m $ 的值。
解法思路：
1. 根据题意，该不等式的解集为 $ [-2, 1] $，说明对应的方程有两个实根 $ x = -2 $ 和 $ x = 1 $。
2. 利用因式分解法，可设原式为：
$$
(x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2
$$
3. 对比原式 $ x^2 + (m - 1)x + m $，可得：
$$
m - 1 = 1 \Rightarrow m = 2
$$
$$
m = -2
$$
但这里发现矛盾，说明应重新比较系数。
正确做法是直接代入两个根：
- 将 $ x = -2 $ 代入原式：
$$
(-2)^2 + (m - 1)(-2) + m = 0 \Rightarrow 4 - 2(m - 1) + m = 0
\Rightarrow 4 - 2m + 2 + m = 0 \Rightarrow 6 - m = 0 \Rightarrow m = 6
$$
- 再验证 $ x = 1 $ 是否满足：
$$
1^2 + (6 - 1)\cdot1 + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 \neq 0
$$
这说明需要重新计算。
正确方法是通过韦达定理：
若方程 $ x^2 + (m - 1)x + m = 0 $ 的两根为 -2 和 1，则：
- 根的和：$ -2 + 1 = -1 = -(m - 1) \Rightarrow m - 1 = 1 \Rightarrow m = 2 $
- 根的积：$ -2 \times 1 = -2 = m $
矛盾，说明可能题目设定有误，或者需进一步分析。
答案：
本题可能存在设定问题，建议再核对条件或调整参数。
三、总结
通过以上几道题目的练习，我们不仅复习了如何解一元二次不等式，还掌握了如何根据解集反推参数的方法。在实际解题过程中，要注意以下几点：
- 注意二次项系数的正负，影响抛物线的开口方向；
- 解不等式时，要结合图像和代数分析；
- 当题目给出解集时，可以利用根与系数的关系进行逆向推理。
练习建议：
建议同学们多做类似题目，尤其是涉及参数变化和图像分析的题型，有助于提高综合应用能力。
