【椭圆及其标准方程优质课比赛教案(6页)】一、教学设计背景

本节课为高中数学“椭圆及其标准方程”内容，属于解析几何的重要组成部分。通过本节课的学习，学生将掌握椭圆的定义、几何特征以及标准方程的推导过程，进一步提升空间想象能力与代数运算能力。

本教案适用于高中二年级学生，教学时间为45分钟，旨在通过探究式教学方法，引导学生自主发现椭圆的几何性质，理解椭圆的标准方程的由来，增强学生学习数学的兴趣和信心。

二、教学目标

1. 知识与技能目标：

- 理解椭圆的定义；

- 掌握椭圆的标准方程形式；

- 能够根据椭圆的几何特征写出其标准方程；

- 了解椭圆在生活中的实际应用。

2. 过程与方法目标：

- 通过动手操作和合作探究，培养学生的观察、分析和归纳能力；

- 引导学生利用坐标系进行几何问题的代数化处理，提升数学建模能力。

3. 情感态度与价值观目标：

- 激发学生对数学美的感受；

- 培养严谨的数学思维习惯；

- 增强学生解决实际问题的信心。

三、教学重点与难点

- 教学重点：

- 椭圆的定义及标准方程的推导；

- 标准方程中参数的意义。

- 教学难点：

- 椭圆标准方程的推导过程；

- 对椭圆几何性质与代数表达之间关系的理解。

四、教学准备

- 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、圆规、直尺；

- 学生准备：课本、练习本、铅笔、橡皮；

- 教学环境：教室配备投影仪和电子白板。

五、教学过程设计

1. 情境导入（5分钟）

教师展示生活中常见的椭圆形物体图片（如地球卫星轨道、椭圆形水池等），引发学生兴趣，提出问题：“这些图形有什么共同点？它们是如何形成的？”

引导学生思考并引出椭圆的概念。

2. 新知讲解（15分钟）

- （1）椭圆的定义：

通过演示实验（如用绳子固定两个点拉动笔画出图形），引导学生总结椭圆的定义：

> 平面上到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间距离）的点的轨迹叫做椭圆。

- （2）椭圆的标准方程推导：

设定两个焦点 $ F_1(-c, 0) $、$ F_2(c, 0) $，设动点 $ P(x, y) $，根据椭圆定义：

$$

\sqrt{(x + c)^2 + y^2} + \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a

$$

通过移项、平方、整理，最终得到标准方程：

$$

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)

$$

其中 $ a $ 为长半轴，$ b $ 为短半轴，$ c $ 为焦距，满足 $ c^2 = a^2 - b^2 $。

3. 合作探究（10分钟）

分组讨论以下问题：

- 如果椭圆的焦点在 y 轴上，标准方程会怎样变化？

- 已知椭圆的两个焦点和长轴长度，如何求其标准方程？

学生代表发言，教师点评并补充。

4. 巩固练习（10分钟）

完成教材上的基础习题，如：

- 写出下列椭圆的标准方程：

- 焦点在 x 轴上，长轴长为 10，短轴长为 6；

- 焦点在 y 轴上，焦距为 8，短轴长为 6。

5. 小结与作业（5分钟）

- 教师带领学生回顾本节课的主要知识点；

- 布置课后作业：完成相关练习题，并预习“双曲线及其标准方程”。

六、板书设计

```

椭圆及其标准方程

一、定义：

平面内到两个定点距离之和为常数（>两定点距离）的点的轨迹。

二、标准方程：

1. 焦点在 x 轴上：

(x²/a²) + (y²/b²) = 1 （a > b > 0）

2. 焦点在 y 轴上：

(x²/b²) + (y²/a²) = 1 （a > b > 0）

三、参数关系：

c² = a² - b²

```

七、教学反思（简略）

本节课通过直观演示与小组合作的方式，激发了学生的学习兴趣，大部分学生能够积极参与课堂活动，掌握了椭圆的基本概念和标准方程的推导方法。但在部分学生的理解过程中，仍存在对参数关系的混淆，需在后续课程中加强巩固。

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