【高中常用十个泰勒展开公式】在高中数学中，虽然泰勒展开并不是必修内容，但在一些进阶的数学问题、函数分析或竞赛题中，了解常见的泰勒展开式有助于更深入地理解函数性质和近似计算。以下总结了高中阶段常用的十个泰勒展开公式，以方便学生记忆与应用。
一、泰勒展开简介
泰勒展开是将一个可导函数表示为无穷级数的形式，通常以某一点为中心进行展开。若展开点为0，则称为麦克劳林展开（Maclaurin Series）。对于高中生而言，掌握基本的泰勒展开形式有助于理解函数图像、极限计算以及近似值估算。
二、常用泰勒展开公式汇总
| 序号 | 函数表达式 | 泰勒展开式（x=0附近） | 收敛区间 | ||
| 1 | $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 2 | $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 3 | $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| 4 | $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots $ | $ (-1, 1] $ | ||
| 5 | $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 6 | $ \arcsin x $ | $ x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{x^5}{5} + \cdots $ | $ [-1, 1] $ | ||
| 7 | $ (1+x)^a $ | $ 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 8 | $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 9 | $ \frac{1}{1+x} $ | $ 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
| 10 | $ \tan x $ | $ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots $ | $ | x | < \frac{\pi}{2} $ |
三、说明与使用建议
1. 适用范围：以上公式均以 $ x = 0 $ 为中心展开，即麦克劳林级数。
2. 收敛性：部分函数的泰勒展开仅在特定区间内有效，需注意收敛域。
3. 应用方向：
- 近似计算：如 $ \sin x \approx x $ 在 $ x $ 很小时可用。
- 极限求解：利用泰勒展开简化极限运算。
- 函数比较：通过展开式判断函数增长速度。
四、小结
高中阶段虽不深入讲解泰勒展开，但掌握这些常见函数的展开形式，有助于提升对函数行为的理解，并在考试或竞赛中提供新的解题思路。建议结合图形与实际例子加深理解，灵活运用这些展开式解决相关问题。
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