【数列所有公式】在数学中，数列是按一定顺序排列的一组数，通常按照一定的规律或公式生成。常见的数列包括等差数列、等比数列、求和公式、通项公式等。为了便于学习和查阅，以下是对数列相关公式的总结，结合文字说明与表格形式进行展示。
一、基本概念
- 数列：按一定顺序排列的一组数，如：1, 3, 5, 7, 9...
- 通项公式：表示数列第n项的表达式，如：aₙ = 2n + 1
- 前n项和：数列前n项的总和，记作Sₙ
二、常见数列类型及公式
1. 等差数列（Arithmetic Sequence）
- 定义：每一项与前一项的差为常数（公差d）
- 通项公式：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
- 前n项和公式：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
2. 等比数列（Geometric Sequence）
- 定义：每一项与前一项的比为常数（公比r）
- 通项公式：
$$
a_n = a_1 \cdot r^{n - 1}
$$
- 前n项和公式（当r ≠ 1）：
$$
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
$$
3. 等差数列求和公式（特殊应用）
- 当数列从1开始，公差为1时：
$$
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
$$
4. 等比数列求和公式（无限项）
- 当
$$
S = \frac{a_1}{1 - r}
$$
5. 数列的递推关系
- 定义：通过前一项或几项来定义后一项的值
- 示例：
$$
a_1 = 1,\quad a_{n+1} = a_n + d \quad (\text{等差})
$$
$$
a_1 = 1,\quad a_{n+1} = a_n \cdot r \quad (\text{等比})
$$
三、常用数列公式汇总表
| 数列类型 | 通项公式 | 前n项和公式 | 公差/公比 |
| 等差数列 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | d |
| 等比数列 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $ | r |
| 自然数列 | $ a_n = n $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $ | 1 |
| 平方数列 | $ a_n = n^2 $ | $ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $ | — |
| 立方数列 | $ a_n = n^3 $ | $ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $ | — |
四、注意事项
- 在使用公式时，需注意公差或公比是否为0或1。
- 对于等比数列，若公比为1，则数列为常数列，此时前n项和为 $ S_n = n \cdot a_1 $。
- 某些数列可能没有明确的通项公式，但可以通过递推方式定义。
五、总结
数列是数学中非常重要的基础内容，掌握其通项公式和求和方法有助于解决实际问题。本文对等差数列、等比数列以及一些特殊数列的公式进行了系统归纳，并以表格形式呈现，方便查阅与记忆。希望对学习数学的同学有所帮助。
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