【双曲线的焦半径公式】在解析几何中，双曲线是一个重要的二次曲线。它由平面上到两个定点（焦点）的距离之差为常数的点的集合构成。对于双曲线上的任意一点，从该点到两个焦点的距离称为“焦半径”。了解和掌握双曲线的焦半径公式，有助于进一步分析双曲线的性质和应用。

一、基本概念

- 双曲线的标准方程：

- 横轴方向：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

- 纵轴方向：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

- 焦点坐标：

- 横轴方向：$(\pm c, 0)$，其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

- 纵轴方向：$(0, \pm c)$，其中 $c = \sqrt{a^2 + b^2}$

- 焦半径：双曲线上任一点 $P(x, y)$ 到两个焦点的距离。

二、焦半径公式的推导与表达

根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差为定值 $2a$。因此，我们可以用代数方法推导出焦半径的表达式。

1. 横轴方向双曲线（标准形式 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$）

设双曲线上一点 $P(x, y)$，焦点为 $F_1(-c, 0)$ 和 $F_2(c, 0)$。

- 焦半径公式：

- $r_1 = PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$

- $r_2 = PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$

根据双曲线定义，有 $r_1 - r_2 = 2a$。

为了简化计算，可使用以下更简洁的形式：

- $r_1 = a + ex$

- $r_2 = a - ex$

其中 $e = \frac{c}{a}$ 是双曲线的离心率。

2. 纵轴方向双曲线（标准形式 $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$）

设双曲线上一点 $P(x, y)$，焦点为 $F_1(0, -c)$ 和 $F_2(0, c)$。

- 焦半径公式：

- $r_1 = PF_1 = \sqrt{x^2 + (y + c)^2}$

- $r_2 = PF_2 = \sqrt{x^2 + (y - c)^2}$

同样地，可以表示为：

- $r_1 = a + ey$

- $r_2 = a - ey$

其中 $e = \frac{c}{a}$ 是离心率。

三、总结表格

四、注意事项

- 焦半径公式适用于双曲线的右支或左支（横轴方向），上支或下支（纵轴方向）。

- 公式中的符号取决于点所在的位置，需结合具体坐标判断。

- 离心率 $e > 1$ 是双曲线的一个重要特征。

通过理解并应用这些焦半径公式，可以更深入地掌握双曲线的几何特性，为后续学习椭圆、抛物线等其他圆锥曲线打下坚实基础。

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