【线性代数自考必背公式】在自考《线性代数》课程中，掌握核心公式是顺利通过考试的关键。以下内容是对该课程中常见的、必须掌握的公式的总结，结合实际应用，帮助考生高效复习。
一、行列式
| 公式 | 说明 |
| $ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} $ | 二阶行列式计算公式 |
| $ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $ | 三阶行列式展开（按行或列） |
| $ D_n = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $ | n阶行列式按第i行展开公式 |
二、矩阵
| 公式 | 说明 |
| $ A + B = [a_{ij} + b_{ij}] $ | 矩阵加法 |
| $ AB = [c_{ij}], c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} $ | 矩阵乘法 |
| $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) $ | 可逆矩阵的求法（当 $\det(A) \neq 0$） |
| $ \text{rank}(A) $ | 矩阵的秩，即其行向量组的最大线性无关组个数 |
三、向量与线性方程组
| 公式 | 说明 |
| $ \alpha = k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_n\beta_n $ | 向量的线性组合 |
| $ \text{向量组线性相关} \iff \text{存在不全为零的系数使得} \sum k_i\alpha_i = 0 $ | 线性相关定义 |
| $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ | 齐次线性方程组 |
| $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ | 非齐次线性方程组 |
四、特征值与特征向量
| 公式 | 说明 |
| $ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $ | 特征值与特征向量定义 |
| $ \det(A - \lambda I) = 0 $ | 特征方程 |
| $ \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A) $ | 特征值之和等于矩阵迹 |
| $ \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A) $ | 特征值乘积等于行列式 |
五、二次型
| 公式 | 说明 |
| $ f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j $ | 二次型的一般形式 |
| $ f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} $ | 二次型矩阵表示 |
| $ \text{正定} \iff \text{所有主子式大于零} $ | 正定矩阵的判断条件 |
六、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $ \text{rank}(AB) \leq \min(\text{rank}(A), \text{rank}(B)) $ | 矩阵乘积秩的性质 |
| $ \text{若 } A \text{ 可逆，则 } \text{rank}(A) = n $ | 可逆矩阵的秩等于其阶数 |
| $ \text{若 } A \text{ 与 } B \text{ 相似，则 } \det(A) = \det(B) $ | 相似矩阵的性质 |
总结
在自考《线性代数》中，掌握这些基础公式并理解其含义是取得高分的关键。建议考生在复习过程中，不仅要记忆公式，更要通过例题练习来加深对概念的理解。同时，注意公式的适用范围和条件，避免误用。
希望以上内容能为你的学习提供帮助，祝你考试顺利！
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