【转动惯量计算公式】在物理学中，转动惯量是描述物体对旋转运动的惯性大小的物理量。它类似于质量在平动中的作用，但更复杂，因为它不仅与物体的质量有关，还与质量分布相对于旋转轴的位置有关。不同的物体形状和旋转轴位置会导致不同的转动惯量公式。
以下是对常见几何体转动惯量的总结，并附有相关公式和适用条件。
一、转动惯量的基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）通常用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其定义为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中：
- $ m_i $ 是物体中每个质点的质量；
- $ r_i $ 是该质点到旋转轴的距离。
对于连续物体，公式变为积分形式：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见几何体的转动惯量公式
| 物体形状 | 旋转轴位置 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 均匀细杆 | 绕中心轴（垂直于杆） | $ I = \frac{1}{12} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 均匀细杆 | 绕一端轴（垂直于杆） | $ I = \frac{1}{3} m L^2 $ | L 为杆长 |
| 实心圆柱体 | 绕中心轴（沿轴线） | $ I = \frac{1}{2} m R^2 $ | R 为半径 |
| 空心圆柱体 | 绕中心轴（沿轴线） | $ I = m R^2 $ | R 为半径 |
| 实心球体 | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{5} m R^2 $ | R 为半径 |
| 空心球体 | 绕通过球心的轴 | $ I = \frac{2}{3} m R^2 $ | R 为半径 |
| 圆环 | 绕垂直于环面的轴 | $ I = m R^2 $ | R 为环半径 |
| 长方体 | 绕通过中心且垂直于面的轴 | $ I = \frac{1}{12} m (a^2 + b^2) $ | a、b 为边长 |
三、注意事项
1. 旋转轴的选择：转动惯量依赖于旋转轴的位置。同一物体绕不同轴的转动惯量不同。
2. 平行轴定理：若已知某物体绕质心轴的转动惯量 $ I_{\text{cm}} $，则绕距离为 $ d $ 的平行轴的转动惯量为：
$$
I = I_{\text{cm}} + m d^2
$$
3. 垂直轴定理：适用于薄板状物体，若已知绕平面内两相互垂直轴的转动惯量，则绕垂直于平面的轴的转动惯量为两者之和。
四、实际应用
转动惯量广泛应用于工程、航天、机械设计等领域。例如，在设计飞轮时，需要考虑其转动惯量以储存或释放动能；在体育运动中，如花样滑冰运动员通过调整身体姿态改变转动惯量，从而控制旋转速度。
总结：转动惯量是研究刚体旋转运动的重要参数，其计算依赖于物体的形状、质量分布以及旋转轴的位置。掌握常见物体的转动惯量公式有助于理解和分析各种旋转现象。
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