【期望的性质】在概率论与数理统计中，期望是一个非常重要的概念，用于描述随机变量在长期试验中的平均表现。理解期望的性质有助于我们更好地分析和预测随机现象的行为。以下是对“期望的性质”的总结，并以表格形式进行归纳。
一、期望的基本性质
1. 线性性
期望具有线性性质，即对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，以及常数 $a$ 和 $b$，有：
$$
E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y
$$
2. 常数的期望
若 $c$ 是一个常数，则：
$$
E[c] = c
$$
3. 非负性
若 $X \geq 0$，则 $E[X] \geq 0$；若 $X > 0$ 且 $P(X > 0) > 0$，则 $E[X] > 0$。
4. 期望的单调性
若 $X \leq Y$，则 $E[X] \leq E[Y]$。
5. 独立性下的期望
若 $X$ 和 $Y$ 是独立的随机变量，则：
$$
E[XY] = E[X] \cdot E[Y
$$
6. 条件期望的性质
条件期望 $E[X
$$
E[E[X
$$
7. 期望的可加性
对于任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$，有：
$$
E[X + Y] = E[X] + E[Y
$$
8. 期望的连续性
如果 $X_n \to X$ 几乎处处收敛，则 $E[X_n] \to E[X]$（在一定条件下）。
二、期望性质总结表
| 性质名称 | 表达式/说明 | |
| 线性性 | $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ | |
| 常数的期望 | $E[c] = c$ | |
| 非负性 | 若 $X \geq 0$，则 $E[X] \geq 0$ | |
| 单调性 | 若 $X \leq Y$，则 $E[X] \leq E[Y]$ | |
| 独立性下的期望 | 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$ | |
| 条件期望的性质 | $E[E[X | Y]] = E[X]$ |
| 可加性 | $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ | |
| 连续性 | 若 $X_n \to X$ 几乎处处，则 $E[X_n] \to E[X]$（在一定条件下） |
三、小结
期望是概率论中描述随机变量中心趋势的重要工具，其性质不仅帮助我们进行理论分析，也在实际应用中发挥着关键作用。掌握这些性质有助于更深入地理解随机变量的行为，为后续的方差、协方差等统计量的学习打下基础。
