【三角恒等式公式总结奥数】在奥数竞赛中，三角恒等式的应用非常广泛，尤其是在解题过程中，灵活运用这些公式可以大大简化问题。本文将对常见的三角恒等式进行系统性总结，帮助同学们更好地掌握这一部分内容。
一、基本三角恒等式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 基本恒等式，适用于所有角度 |
| $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ | 与正切和余割相关 |
| $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$ | 与余切和正割相关 |
| $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ | 奇函数性质 |
| $\cos(-\theta) = \cos\theta$ | 偶函数性质 |
二、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式 |
| $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ | 第二象限的正弦值 |
| $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$ | 第二象限的余弦值 |
| $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$ | 第三象限的正弦值 |
| $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$ | 第三象限的余弦值 |
| $\sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta$ | 第四象限的正弦值 |
| $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$ | 第四象限的余弦值 |
三、和角与差角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ | 正弦的和角公式 |
| $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ | 正弦的差角公式 |
| $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ | 余弦的和角公式 |
| $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ | 余弦的差角公式 |
| $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ | 正切的和角公式 |
| $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ | 正切的差角公式 |
四、倍角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ | 正弦的倍角公式 |
| $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ | 余弦的倍角公式 |
| $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ | 正切的倍角公式 |
五、半角公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ | 正弦的半角公式 |
| $\cos\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ | 余弦的半角公式 |
| $\tan\frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ | 正切的半角公式 |
六、积化和差与和差化积公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) - \sin(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ | 积化和差 |
| $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
| $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ | 和差化积 |
七、其他常用公式
| 公式 | 说明 |
| $\sin^3\theta = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}{4}$ | 三次方的展开 |
| $\cos^3\theta = \frac{3\cos\theta + \cos3\theta}{4}$ | 三次方的展开 |
| $\sin^4\theta = \frac{3 - 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8}$ | 四次方的展开 |
| $\cos^4\theta = \frac{3 + 4\cos2\theta + \cos4\theta}{8}$ | 四次方的展开 |
结语
掌握这些三角恒等式是解决奥数中涉及三角函数问题的关键。建议同学们多做练习题，结合实际题目加深理解，并注意公式的适用范围和符号变化。通过不断积累，能够更高效地应对各类竞赛题型。
