【上下限定积分求导公式】在微积分的学习过程中，积分与导数的关系是核心内容之一。特别是当积分的上下限不是常数，而是关于变量的函数时，求导的过程需要特别处理。本文将对“上下限定积分求导公式”进行总结，并通过表格形式清晰展示其应用方式。
一、基本概念
对于一个定积分
$$
F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt
$$
其中 $ a(x) $ 和 $ b(x) $ 是关于 $ x $ 的函数，$ f(t) $ 是被积函数。此时，若要对 $ F(x) $ 求导，需要用到莱布尼茨法则（Leibniz Rule）。
二、上下限定积分求导公式
根据莱布尼茨法则，有以下公式：
$$
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(t) \, dt
$$
如果 $ f(t) $ 不显含 $ x $，即 $ \frac{\partial}{\partial x} f(t) = 0 $，则公式简化为：
$$
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)
$$
三、常见情况分类
| 情况 | 积分表达式 | 导数公式 | 说明 |
| 常数上下限 | $ \int_{c}^{d} f(t) \, dt $ | 0 | 上下限固定，导数为0 |
| 上限变、下限常 | $ \int_{c}^{u(x)} f(t) \, dt $ | $ f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 应用基本公式 |
| 下限变、上限常 | $ \int_{v(x)}^{d} f(t) \, dt $ | $ -f(v(x)) \cdot v'(x) $ | 注意符号变化 |
| 上下限都变 | $ \int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt $ | $ f(v(x)) \cdot v'(x) - f(u(x)) \cdot u'(x) $ | 莱布尼茨法则标准形式 |
四、实例分析
例1：
$$
F(x) = \int_{2}^{x^2} \sin t \, dt
$$
求导得：
$$
F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x
$$
例2：
$$
G(x) = \int_{x}^{e^x} \ln t \, dt
$$
求导得：
$$
G'(x) = \ln(e^x) \cdot e^x - \ln(x) \cdot 1 = x \cdot e^x - \ln x
$$
五、总结
在处理上下限定积分的求导问题时，关键在于识别上下限是否为变量函数，并正确应用莱布尼茨法则。通过掌握上述公式和实例，可以有效提高对这类问题的理解和解题能力。
| 公式名称 | 公式表达 | 适用条件 |
| 基本积分求导 | $ \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) $ | 上下限为变量函数 |
| 常数上下限 | 0 | 上下限均为常数 |
| 单边变量 | $ f(u(x))u'(x) $ 或 $ -f(v(x))v'(x) $ | 只有一端变量 |
| 多变量 | $ f(v(x))v'(x) - f(u(x))u'(x) $ | 上下限均为变量函数 |
通过以上总结和表格，读者可以更清晰地理解“上下限定积分求导公式”的应用场景及计算方法，有助于提升数学分析能力。
