【一元二次函数的顶点坐标和交点坐标】在数学中，一元二次函数是一种常见的函数形式，其标准形式为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。该函数的图像是一个抛物线，具有对称轴、顶点以及可能与坐标轴的交点。掌握其顶点坐标和交点坐标的求法，有助于我们更深入地理解函数的性质。
一、顶点坐标的求法
一元二次函数的图像是一条抛物线，其顶点是抛物线的最高点或最低点。顶点的横坐标可以通过公式计算得出：
$$ x = -\frac{b}{2a} $$
将这个值代入原函数，即可得到顶点的纵坐标 $ y $。因此，顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)
$$
也可以直接使用顶点式来表示函数，即：
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
其中，$ (h, k) $ 就是顶点坐标。
二、交点坐标的求法
一元二次函数的交点通常包括两个部分：与 x轴的交点（即根）和与 y轴的交点。
1. 与x轴的交点（根）
当 $ y = 0 $ 时，解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 可得函数与x轴的交点。根据判别式 $ D = b^2 - 4ac $，可判断交点个数：
- 若 $ D > 0 $，有两个不同的实数根；
- 若 $ D = 0 $，有一个实数根（重根）；
- 若 $ D < 0 $，无实数根（即不与x轴相交）。
根的公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
2. 与y轴的交点
当 $ x = 0 $ 时，函数值为 $ y = c $，因此与y轴的交点为：
$$
(0, c)
$$
三、总结表格
| 内容 | 公式/方法 |
| 顶点横坐标 | $ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 顶点纵坐标 | $ y = f\left(-\frac{b}{2a}\right) $ 或 $ y = c - \frac{b^2}{4a} $ |
| 与x轴交点 | 解方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，根为 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $ |
| 判别式 | $ D = b^2 - 4ac $ |
| 与y轴交点 | $ (0, c) $ |
通过以上分析可以看出，一元二次函数的顶点和交点是研究其图像和性质的重要依据。掌握这些知识点，有助于我们在实际问题中更准确地进行建模和分析。
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