【分数求导数的公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。当函数以分数形式出现时，即分子和分母都是关于变量的函数，求导需要用到“商法则”（Quotient Rule）。本文将对分数求导的基本公式进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、分数求导的基本公式
若函数 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式称为商法则，用于计算两个可导函数相除后的导数。
二、公式解析与使用说明
| 公式名称 | 表达式 | 说明 |
| 商法则 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 用于计算两个函数相除后的导数 |
| 分子导数 | $ u'(x) $ | 分子部分的导数 |
| 分母导数 | $ v'(x) $ | 分母部分的导数 |
| 分母平方 | $ [v(x)]^2 $ | 分母的平方，作为分母 |
三、举例说明
例1：
设 $ y = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $，求导。
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 1 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式：
$$
y' = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
= \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2}
$$
进一步化简后可得结果。
四、注意事项
1. 分母不能为零：在应用商法则时，必须确保 $ v(x) \neq 0 $。
2. 先化简再求导：有时可以通过约分或变形简化运算。
3. 结合其他法则：如链式法则、乘积法则等，可用于更复杂的函数。
五、总结
分数形式的函数求导，需使用商法则。掌握该法则有助于解决实际问题中的复杂导数计算。通过理解公式的结构和使用方法，可以提高解题效率并减少出错概率。
附：公式速查表
| 求导类型 | 公式 | 适用范围 |
| 分数函数 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | $ u, v $ 可导，$ v \neq 0 $ |
| 常数项 | $ (c)' = 0 $ | $ c $ 为常数 |
| 幂函数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ | $ n $ 为实数 |
| 积的导数 | $ (uv)' = u'v + uv' $ | 乘积法则 |
通过以上内容，我们可以系统地掌握分数求导的基本方法和相关公式，提升数学分析能力。
