【什么是变限积分求导公式】在微积分中，变限积分是积分学中的一个重要概念。它指的是积分上限或下限为变量的积分形式。变限积分求导公式是用于计算这类积分对变量求导的法则，是微积分基本定理的重要应用之一。
一、变限积分的基本形式
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数，即 $ F'(x) = f(x) $，则：
- 定积分：$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$
- 变限积分：$\int_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(t) \, dt$
其中，$\phi(x)$ 和 $\psi(x)$ 是关于 $ x $ 的函数，称为积分的上下限。
二、变限积分求导公式
根据微积分基本定理和链式法则，可以得出以下结论：
1. 当上下限都是常数时：
$$
\frac{d}{dx} \int_a^b f(t) \, dt = 0
$$
2. 当上限是变量，下限是常数时：
$$
\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x)
$$
3. 当下限是变量，上限是常数时：
$$
\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^b f(t) \, dt = -f(v(x)) \cdot v'(x)
$$
4. 当上下限都是变量时：
$$
\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt = f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)
$$
三、总结表格
| 积分形式 | 求导结果 | 公式说明 |
| $\int_a^b f(t) \, dt$ | 0 | 上下限均为常数，导数为0 |
| $\int_a^{u(x)} f(t) \, dt$ | $f(u(x)) \cdot u'(x)$ | 上限为变量，应用链式法则 |
| $\int_{v(x)}^b f(t) \, dt$ | $-f(v(x)) \cdot v'(x)$ | 下限为变量，负号来自反向积分 |
| $\int_{v(x)}^{u(x)} f(t) \, dt$ | $f(u(x)) \cdot u'(x) - f(v(x)) \cdot v'(x)$ | 上下限均为变量，分别求导后相减 |
四、实际应用举例
例如，若 $ F(x) = \int_0^{x^2} \sin t \, dt $，则其导数为：
$$
F'(x) = \sin(x^2) \cdot 2x
$$
又如，若 $ G(x) = \int_{\sqrt{x}}^{x^3} e^t \, dt $，则其导数为：
$$
G'(x) = e^{x^3} \cdot 3x^2 - e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
$$
五、小结
变限积分求导公式是微积分中非常实用的工具，尤其在处理含有变量上下限的积分时，能够快速求出其导数。掌握这些公式有助于理解积分与导数之间的关系，并在物理、工程、经济学等领域有广泛应用。
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