【等比数列相关公式】等比数列是数学中常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值为常数，这个常数称为公比。在学习和应用等比数列时，掌握其相关公式至关重要。以下是对等比数列相关公式的总结，便于理解和记忆。
一、基本概念
- 首项：数列的第一个数，记作 $ a $
- 公比：相邻两项的比值，记作 $ r $
- 第 $ n $ 项：数列中的第 $ n $ 个数，记作 $ a_n $
- 前 $ n $ 项和：数列前 $ n $ 项的总和，记作 $ S_n $
二、等比数列相关公式总结
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第 $ n $ 项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 用于求任意一项的值 | ||
| 前 $ n $ 项和公式 | $ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当公比不等于1时使用 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a}{1 - r} $（当 $ | r | < 1 $） | 当公比绝对值小于1时，无限项和收敛 |
| 等比中项公式 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = ac $ | 用于判断或构造等比数列 |
三、注意事项
1. 公比 $ r $ 的取值范围：
- 若 $ r > 1 $，数列递增；
- 若 $ 0 < r < 1 $，数列递减；
- 若 $ r = 1 $，数列为常数列；
- 若 $ r < 0 $，数列为摆动数列。
2. 无穷等比数列的条件：
- 必须满足 $
3. 等比中项的应用：
- 在几何问题或实际问题中，若已知三项成等比数列，可以利用该公式进行计算或验证。
四、示例解析
例1：已知等比数列的首项为 3，公比为 2，求第 5 项和前 5 项和。
- 第 5 项：$ a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 3 \cdot 16 = 48 $
- 前 5 项和：$ S_5 = \frac{3(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3(1 - 32)}{-1} = \frac{3 \cdot (-31)}{-1} = 93 $
例2：已知等比数列中 $ a = 2 $，$ a_3 = 8 $，求公比 $ r $ 和 $ a_5 $。
- 由 $ a_3 = a \cdot r^2 = 2 \cdot r^2 = 8 $，得 $ r^2 = 4 $，所以 $ r = 2 $ 或 $ r = -2 $
- 若 $ r = 2 $，则 $ a_5 = 2 \cdot 2^4 = 2 \cdot 16 = 32 $
- 若 $ r = -2 $，则 $ a_5 = 2 \cdot (-2)^4 = 2 \cdot 16 = 32 $
五、结语
等比数列在数学、物理、经济等多个领域都有广泛应用。掌握其基本公式并灵活运用，能够有效解决实际问题。通过表格形式整理公式，有助于系统化学习和快速查找，提升解题效率。
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