切比雪夫不等式是概率论中的一个重要定理，它提供了一种估计随机变量偏离其期望值的概率下界的方法。这一不等式不仅具有理论上的重要意义，还在实际应用中扮演着关键角色。

设X为一个随机变量，其期望值为μ，方差为σ²。对于任意正数ε>0，切比雪夫不等式表述如下：

P(|X-μ|≥ε)≤σ²/ε²

为了证明这个不等式，我们首先回顾一些基本概念和性质。

首先，方差定义为Var(X)=E[(X-μ)²]，其中E表示数学期望。根据定义，我们可以将Var(X)展开为：

Var(X) = E[X²] - (E[X])²

接下来，利用Markov不等式，即对于非负随机变量Y和任意正数a>0，有P(Y≥a)≤E[Y]/a。我们将这个不等式应用于随机变量(Z-μ)²，其中Z=X-μ，则有：

P((Z-μ)²≥ε²)≤E[(Z-μ)²]/ε²

由于Var(X)=E[(Z-μ)²]，代入后得到：

P(|X-μ|≥ε)≤Var(X)/ε²

这就是切比雪夫不等式的证明过程。通过这个证明，我们可以看到切比雪夫不等式实际上是基于方差和Markov不等式的推导结果。

切比雪夫不等式的一个重要特性是它适用于任何分布形式，只要随机变量的期望和方差存在。这使得它在统计学和数据分析中有广泛的应用，尤其是在处理未知分布或无法精确计算概率时。

总之，切比雪夫不等式为我们提供了一个通用且强大的工具来评估随机变量与期望值之间的偏差程度，从而帮助我们在不确定性环境中做出更合理的判断和决策。