在数学领域中，微分方程是描述自然现象和工程问题的重要工具。本文将通过几个典型的例题，展示如何求解不同类型的微分方程。

首先来看一个一阶线性微分方程的例子：

\[ \frac{dy}{dx} + 2y = e^x \]

这是一个标准的一阶线性微分方程，其通解可以通过积分因子法求得。首先确定积分因子 \( I(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x} \)，然后将方程两边同时乘以这个积分因子得到：

\[ e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{3x} \]

这可以重写为：

\[ \frac{d}{dx}(ye^{2x}) = e^{3x} \]

对两边进行积分：

\[ ye^{2x} = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C \]

因此，解为：

\[ y = \frac{1}{3}e^x + Ce^{-2x} \]

接下来是一个可分离变量的微分方程：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \]

这里可以直接分离变量得到：

\[ y dy = x dx \]

两边积分后：

\[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \]

从而得到解：

\[ y^2 = x^2 + C' \]

最后，考虑一个二阶常系数齐次微分方程：

\[ \frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0 \]

假设解的形式为 \( y = e^{rx} \)，代入原方程可得特征方程：

\[ r^2 - 5r + 6 = 0 \]

解此二次方程得 \( r_1 = 2, r_2 = 3 \)，所以通解为：

\[ y = C_1e^{2x} + C_2e^{3x} \]

以上便是几个不同类型微分方程的解法示例。每个例子都展示了不同的解决策略，希望对理解微分方程有所帮助。