在高中数学课程中，平面向量是一个重要的学习内容，尤其在必修4中，它不仅是几何知识的延伸，更是后续学习三角函数、解析几何以及立体几何的基础。为了帮助学生更好地掌握平面向量的相关概念与应用，以下是一份综合性练习题，涵盖向量的基本运算、数量积、向量的坐标表示及实际应用等内容。
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 已知向量 a = (3, -4)，则向量 a 的模为（ ）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 12
2. 若向量 a = (2, 1)，向量 b = (-1, 3)，则 a + b 等于（ ）
A. (1, 4)
B. (1, 2)
C. (3, 4)
D. (2, 3)
3. 向量 a = (1, 2) 与向量 b = (k, 4) 垂直，则 k 的值为（ ）
A. -2
B. 2
C. 3
D. -3
4. 向量 a = (3, 4)，向量 b = (1, 2)，则 a·b 的值为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 向量 a = (x, 3) 与向量 b = (2, -6) 共线，则 x = ________。
6. 已知向量 a = (2, 1)，向量 b = (-1, 3)，则 |a - b| = ________。
7. 若向量 a = (m, 2) 与向量 b = (3, m) 的夹角为锐角，则 m 的取值范围是________。
8. 已知向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则 a 在 b 方向上的投影为________。
三、解答题（每题10分，共40分）
9. 已知向量 a = (2, 3)，向量 b = (-1, 4)，求：
（1）a + b；
（2）a - b；
（3）|a| 和 |b|；
（4）a·b。
10. 已知向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, -1)，求：
（1）向量 a 与 b 的夹角；
（2）若向量 c = a + kb，且 c 与 a 垂直，求实数 k 的值。
11. 已知三点 A(1, 2)，B(3, 4)，C(-1, 0)，求：
（1）向量 AB 和 AC；
（2）判断 AB 与 AC 是否垂直；
（3）求三角形 ABC 的面积。
12. 设向量 a = (cosθ, sinθ)，向量 b = (sinθ, cosθ)，其中 θ ∈ [0, π]，求：
（1）a·b 的最大值和最小值；
（2）当 a·b = 0 时，θ 的值。
四、拓展题（附加题，10分）
13. 已知向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，设向量 c = λa + μb，若 c = (5, 8)，求实数 λ 和 μ 的值。
参考答案：
1. A
2. A
3. A
4. A
5. -1
6. √10
7. m > -√6 且 m ≠ 0
8. 11/5
9. （1）(1,7)；（2）(3,-1)；（3）√13，√10；（4）11
10. （1）arccos(1/√10)；（2）k = -1
11. （1）AB=(2,2)，AC=(-2,-2)；（2）不垂直；（3）面积=2
12. （1）最大值1，最小值-1；（2）θ=π/4 或 3π/4
13. λ=1，μ=1
通过这份练习题，可以全面检测学生对平面向量的理解程度，包括基本运算、向量的几何意义、数量积的应用等。建议在复习阶段进行系统训练，以提升解题能力和思维逻辑。
