在数学中，反证法是一种非常重要的逻辑推理方法。它通过假设命题的否定成立，进而推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。反证法不仅在数学证明中广泛应用，也常用于逻辑推理和问题解决中。下面将通过几个经典的反证法例题，帮助大家更好地理解和掌握这一方法。

一、例题1：证明√2是无理数

题目：证明√2是一个无理数。

分析：

我们通常知道√2是一个非整数，但是否为有理数呢？我们可以用反证法来证明这一点。

证明过程：

1. 假设√2是有理数。

2. 那么可以表示为两个互质的正整数a和b的比值，即√2 = a/b。

3. 两边平方得：2 = a² / b² ⇒ a² = 2b²。

4. 这说明a²是偶数，因此a也是偶数。设a = 2k（k为整数）。

5. 代入上式得：(2k)² = 2b² ⇒ 4k² = 2b² ⇒ b² = 2k²。

6. 这说明b²也是偶数，所以b也是偶数。

7. 但这样a和b都是偶数，与“a和b互质”的前提矛盾。

结论：我们的假设不成立，因此√2不是有理数，而是无理数。

二、例题2：证明素数有无穷多个

题目：证明存在无限多个素数。

分析：

这是一个经典的数学命题，欧几里得在其著作《几何原本》中首次提出该命题，并使用了反证法进行证明。

证明过程：

1. 假设素数只有有限个，设为p₁, p₂, ..., pₙ。

2. 构造一个新的数N = p₁ × p₂ × ... × pₙ + 1。

3. N不能被任何一个pᵢ整除（因为除以任何一个pᵢ都会余1）。

4. 所以N要么是素数，要么是某个更大的素数的乘积。

5. 无论哪种情况，都存在一个不在原来列表中的素数，与“素数只有有限个”矛盾。

结论：素数有无穷多个。

三、例题3：证明方程x² + y² = 3z²没有非零整数解

题目：证明方程x² + y² = 3z²没有非零整数解。

分析：

我们可以从模3的角度出发，结合反证法进行证明。

证明过程：

1. 假设存在非零整数x, y, z满足x² + y² = 3z²。

2. 考虑等式两边对3取模：

- x² mod 3 的可能值为0或1；

- 同理，y² mod 3 也为0或1；

- 因此x² + y² mod 3 的可能值为0, 1, 或2。

3. 右边3z² mod 3 = 0。

4. 所以x² + y² ≡ 0 (mod 3)，即x² ≡ y² ≡ 0 (mod 3)。

5. 这意味着x和y都是3的倍数，设x = 3a，y = 3b。

6. 代入原方程得：9a² + 9b² = 3z² ⇒ 3a² + 3b² = z² ⇒ z² = 3(a² + b²)。

7. 同样可得z也是3的倍数，设z = 3c。

8. 代入后得到：3(a² + b²) = 9c² ⇒ a² + b² = 3c²。

9. 这与原来的方程形式相同，但x, y, z的值更小，形成了无限递降，矛盾。

结论：原假设不成立，方程x² + y² = 3z²没有非零整数解。

总结

反证法是一种强大的数学工具，尤其适用于无法直接证明的命题。通过对命题的否定进行假设，并由此推导出矛盾，从而间接地证明原命题的正确性。上述三个例题分别展示了反证法在数论、代数和数的性质中的应用，有助于加深对这一方法的理解和掌握。

在学习过程中，建议多尝试自己动手构造反证法的思路，培养逻辑思维能力和严谨的数学素养。