在数学中，复数是一个重要的概念，广泛应用于代数、几何、物理和工程等多个领域。掌握复数的基本知识、运算规则以及相关公式，是进一步学习高等数学和应用数学的基础。本文将系统地介绍复数的相关知识点，包括复数的定义、模的计算、运算法则、常用公式以及典型例题与解答。
一、复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为：
$$
z = a + bi
$$
其中：
- $ a $ 是实部（Real Part），记作 $ \text{Re}(z) $
- $ b $ 是虚部（Imaginary Part），记作 $ \text{Im}(z) $
- $ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $
二、复数的模（绝对值）
复数 $ z = a + bi $ 的模是指其在复平面上到原点的距离，用符号 $ |z| $ 表示，计算公式为：
$$
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
$$
模的性质：
1. $ |z| \geq 0 $，且 $ |z| = 0 $ 当且仅当 $ z = 0 $
2. $ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $
3. $ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $ （$ z_2 \neq 0 $）
4. $ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $（三角不等式）
三、复数的运算法则
1. 加法与减法
设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，则：
- 加法：$ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i $
- 减法：$ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i $
2. 乘法
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
3. 除法
复数的除法可以通过共轭复数进行化简。若 $ z_2 \neq 0 $，则：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}
$$
4. 共轭复数
复数 $ z = a + bi $ 的共轭复数为 $ \overline{z} = a - bi $，其性质如下：
- $ z + \overline{z} = 2a $
- $ z \cdot \overline{z} = |z|^2 $
- $ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $
- $ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} $
四、复数的极坐标形式与欧拉公式
复数也可以用极坐标形式表示：
$$
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
$$
其中：
- $ r = |z| $ 是复数的模
- $ \theta $ 是复数的幅角（Argument）
根据欧拉公式，可以写成：
$$
z = re^{i\theta}
$$
极坐标下的乘法与除法：
- 若 $ z_1 = r_1 e^{i\theta_1} $，$ z_2 = r_2 e^{i\theta_2} $，则：
- 乘法：$ z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} $
- 除法：$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1 - \theta_2)} $
五、复数的常用公式汇总
| 运算类型 | 公式 |
|----------|------|
| 模的平方 | $ |z|^2 = a^2 + b^2 $ |
| 共轭复数 | $ \overline{z} = a - bi $ |
| 复数的倒数 | $ \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} $ |
| 幂运算 | $ z^n = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) $ |
| 根号运算 | $ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) + i\sin\left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right) $，$ k=0,1,...,n-1 $ |
六、复数运算例题与答案
例题1：
计算复数 $ z = (1 + 2i)(3 - 4i) $ 的结果。
解：
$$
(1 + 2i)(3 - 4i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot (-4i) + 2i \cdot 3 + 2i \cdot (-4i) = 3 - 4i + 6i - 8i^2
$$
$$
= 3 + 2i + 8 = 11 + 2i
$$
答： $ z = 11 + 2i $
例题2：
求复数 $ z = 2 + 3i $ 的模。
解：
$$
|z| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
$$
答： $ |z| = \sqrt{13} $
例题3：
将复数 $ z = 1 + i $ 转换为极坐标形式。
解：
- 模：$ r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $
- 幅角：$ \theta = \tan^{-1}(1/1) = \frac{\pi}{4} $
答： $ z = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) $
七、总结
复数作为数学中的重要工具，不仅在理论研究中具有广泛应用，也在实际问题中发挥着关键作用。理解复数的模、运算规则、极坐标形式以及相关公式，有助于更深入地掌握复数的应用技巧。通过练习相关例题，可以有效提升对复数的理解和运用能力。
如需进一步了解复数在方程、函数或几何中的应用，欢迎继续关注相关内容。
