【高二数学试题和答案】在高中阶段，数学作为一门基础学科，对学生的逻辑思维和分析能力有着重要的培养作用。尤其是高二年级，数学课程内容逐渐加深，知识点更加系统化，因此掌握好这一阶段的知识点尤为重要。为了帮助学生更好地复习和巩固所学内容，下面提供一份高二数学试题及详细解析，供参考学习。
一、选择题（每小题5分，共20分）
1. 若函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，则其图像的顶点坐标为（ ）
A. (2, -1)
B. (2, 1)
C. (-2, -1)
D. (-2, 1)
2. 已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，则 $ \vec{a} \cdot \vec{b} $ 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 若等差数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公差为 $ d = 3 $，则第7项为（ ）
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
4. 已知 $ \sin\theta = \frac{1}{2} $，且 $ \theta \in [0, 2\pi] $，则 $ \theta $ 的可能取值为（ ）
A. $ \frac{\pi}{6} $
B. $ \frac{\pi}{3} $
C. $ \frac{5\pi}{6} $
D. A 和 C
二、填空题（每小题5分，共20分）
5. 若 $ \log_2 8 = x $，则 $ x = \_\_\_\_\_ $。
6. 函数 $ y = \sqrt{x - 1} $ 的定义域是 $ \_\_\_\_\_ $。
7. 若直线 $ y = 2x + 3 $ 与直线 $ y = -x + 5 $ 相交，则交点坐标为 $ \_\_\_\_\_ $。
8. 在三角形 ABC 中，已知角 A = 60°，边 BC = 4，边 AB = 3，则边 AC 的长度为 $ \_\_\_\_\_ $。
三、解答题（每小题10分，共40分）
9. 解不等式：$ 2x^2 - 5x + 2 > 0 $
10. 已知数列 $ \{a_n\} $ 是等比数列，且 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 27 $，求该数列的通项公式。
11. 求函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $ 的极值。
12. 在平面直角坐标系中，已知点 A(1, 2)，B(4, 5)，C(2, 7)，判断三点是否共线，并说明理由。
四、附加题（10分）
13. 设函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，求其定义域，并判断是否存在极限 $ \lim_{x \to 1} f(x) $。
答案与解析
一、选择题答案：
1. A
2. A
3. C
4. D
二、填空题答案：
5. 3
6. $ x \geq 1 $
7. (1, 5)
8. $ \sqrt{7} $ 或约 2.645
三、解答题解析：
9. 解不等式：
$ 2x^2 - 5x + 2 > 0 $
先求方程 $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $ 的根：
$ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} $
所以 $ x_1 = 2 $，$ x_2 = \frac{1}{2} $
由于二次项系数为正，抛物线开口向上，所以不等式的解集为：
$ x < \frac{1}{2} $ 或 $ x > 2 $
10. 等比数列通项公式：
已知 $ a_1 = 3 $，$ a_3 = 27 $，设公比为 $ q $，则有：
$ a_3 = a_1 \cdot q^2 = 3q^2 = 27 $ ⇒ $ q^2 = 9 $ ⇒ $ q = 3 $ 或 $ q = -3 $
所以通项公式为：
$ a_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n $ 或 $ a_n = 3 \cdot (-3)^{n-1} $
11. 求极值：
$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $
求导得：$ f'(x) = 3x^2 - 6x $
令导数为零：$ 3x(x - 2) = 0 $ ⇒ $ x = 0 $ 或 $ x = 2 $
判断极值：
当 $ x = 0 $，$ f(0) = 2 $；当 $ x = 2 $，$ f(2) = 8 - 12 + 2 = -2 $
所以 $ x = 0 $ 是极大值点，$ x = 2 $ 是极小值点。
12. 三点是否共线：
向量 $ \vec{AB} = (3, 3) $，向量 $ \vec{AC} = (1, 5) $
若三点共线，则 $ \vec{AB} $ 与 $ \vec{AC} $ 成比例关系：
即 $ \frac{3}{1} = \frac{3}{5} $ 不成立，故三点不共线。
13. 函数定义域与极限：
$ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} $，当 $ x \neq 1 $ 时，可化简为 $ f(x) = x + 1 $
所以定义域为 $ x \neq 1 $
极限：
$ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 $
通过这份试题与解析，希望同学们能够查漏补缺，提升数学综合运用能力。如需更多练习题或专项讲解，欢迎继续关注。
