【极限定义证明例题详解】在数学分析中，极限的定义是理解函数连续性、导数和积分等概念的基础。其中，极限的ε-δ定义是核心内容之一。为了帮助读者更好地掌握极限的严格证明方法，本文通过几个典型例题进行详细解析，并以表格形式总结关键步骤与思路。
一、极限定义的基本概念
设函数 $ f(x) $ 在点 $ x_0 $ 的某个去心邻域内有定义，若对于任意给定的正数 $ \varepsilon > 0 $，总存在正数 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 <
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$$
则称 $ L $ 是 $ f(x) $ 当 $ x \to x_0 $ 时的极限，记作
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\lim_{x \to x_0} f(x) = L
$$
二、例题解析
例题1：证明 $\lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7$
目标：对任意 $ \varepsilon > 0 $，找到合适的 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 <
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推导过程：
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| 3x + 1 - 7 | = | 3x - 6 | = 3 | x - 2 | x - 2 | < \varepsilon $，即 $$ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x - 2 | < \frac{\varepsilon}{3} $$ 因此，取 $ \delta = \frac{\varepsilon}{3} $ 即可满足条件。 例题2：证明 $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ 目标：对任意 $ \varepsilon > 0 $，找到 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < | x | < \delta $ 时，有 $$ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x^2 - 0 | < \varepsilon $$ 推导过程： $$ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| x^2 | = | x | ^2 $$ 令 $ | x | < \delta $，则 $ | x | ^2 < \delta^2 $。为使 $ \delta^2 < \varepsilon $，可取 $ \delta = \sqrt{\varepsilon} $。 例题3：证明 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$ 目标：对任意 $ \varepsilon > 0 $，找到 $ \delta > 0 $，使得当 $ 0 < | x - 1 | < \delta $ 时，有 $$ \left | \frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2 \right | < \varepsilon $$ 推导过程： 化简表达式： $$ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad (x \neq 1) $$ 所以， $$
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