【偏度和峰度公式】在统计学中，偏度（Skewness）和峰度（Kurtosis）是描述数据分布形态的两个重要指标。它们可以帮助我们了解数据的对称性以及尾部的厚重程度，从而更全面地理解数据特征。
一、偏度（Skewness）
偏度用于衡量数据分布的不对称性。如果偏度为0，表示数据是对称的；若偏度为正，说明数据右偏（长尾在右侧）；若偏度为负，则表示左偏（长尾在左侧）。
偏度公式：
- 样本偏度公式（基于三阶中心矩）：
$$
\text{Skewness} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3}{s^3}
$$
其中：
- $ x_i $ 是第 $ i $ 个数据点；
- $ \bar{x} $ 是样本均值；
- $ s $ 是样本标准差；
- $ n $ 是样本数量。
- 另一种常用计算方式（调整后的偏度）：
$$
\text{Adjusted Skewness} = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3
$$
二、峰度（Kurtosis）
峰度用于衡量数据分布的尖峭程度或尾部厚度。它比较的是数据与正态分布的差异。通常以“峰度系数”来表示。
峰度公式：
- 样本峰度公式（基于四阶中心矩）：
$$
\text{Kurtosis} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^4}{s^4} - 3
$$
其中：
- $ x_i $ 是第 $ i $ 个数据点；
- $ \bar{x} $ 是样本均值；
- $ s $ 是样本标准差；
- $ n $ 是样本数量。
- 解释：
- 若峰度为0，表示与正态分布相同；
- 若峰度 > 0，表示分布比正态分布更尖峭（高峰度）；
- 若峰度 < 0，表示分布更平坦（低峰度）。
三、总结表格
| 指标 | 定义 | 公式 | 解释 |
| 偏度（Skewness） | 衡量数据分布的不对称性 | $ \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^3}{s^3} $ 或 $ \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{x_i - \bar{x}}{s} \right)^3 $ | 正值：右偏；负值：左偏；0：对称 |
| 峰度（Kurtosis） | 衡量数据分布的尖峭程度 | $ \frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^4}{s^4} - 3 $ | 0：正态分布；>0：尖峰；<0：平峰 |
通过理解偏度和峰度的计算方法及其含义，我们可以更好地分析数据的分布特性，并在实际应用中做出更合理的判断和决策。
以上就是【偏度和峰度公式】相关内容，希望对您有所帮助。
