【幂级数展开式常用公式】在数学分析中，幂级数是一种重要的函数表示形式，广泛应用于微积分、微分方程和近似计算等领域。通过对常见函数进行幂级数展开，可以更方便地进行数值计算、求导、积分以及解析延拓等操作。以下是一些常用的幂级数展开公式，以加表格的形式呈现。
一、
幂级数是形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的无穷级数，其中 $a_n$ 是系数。对于某些常见的初等函数，如指数函数、三角函数、对数函数等，它们在特定点（通常是原点）附近可以展开为幂级数。这些展开式不仅具有理论价值，也常用于工程和物理中的近似计算。
常见的幂级数展开包括：
- 指数函数 $e^x$ 的泰勒展开；
- 正弦函数 $\sin x$ 和余弦函数 $\cos x$ 的展开；
- 对数函数 $\ln(1+x)$ 的展开；
- 幂函数 $(1+x)^k$ 的二项式展开；
- 反三角函数如 $\arctan x$ 的展开等。
掌握这些展开式有助于快速理解函数的局部行为，并在实际问题中提供有效的近似方法。
二、常用幂级数展开公式表
| 函数 | 幂级数展开式 | 收敛半径 |
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $\infty$ |
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\infty$ |
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $\infty$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}$ | $1$ |
| $\arctan x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ | $1$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | $1$ |
| $(1+x)^k$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ | $1$（当 $k$ 为整数时收敛于 $\infty$） |
| $\sinh x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $\infty$ |
| $\cosh x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $\infty$ |
三、说明
- 上述展开式大多为泰勒级数或麦克劳林级数（即在 $x=0$ 处的展开）。
- 收敛半径指的是展开式在实数轴上有效范围的大小。
- 对于非整数次幂（如 $(1+x)^k$），需使用广义二项式定理进行展开。
通过掌握这些常用的幂级数展开公式，可以更高效地处理各类数学问题，并在实际应用中灵活运用。建议结合具体问题选择合适的展开形式，以提高计算效率与准确性。
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