【三角函数恒等变形公式】在数学学习中，三角函数的恒等变形是解决各类三角问题的重要工具。掌握这些公式不仅可以帮助我们简化计算，还能提高解题效率和准确性。本文将对常见的三角函数恒等变形公式进行总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅与记忆。
一、基本恒等式
1. 平方关系
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系
- $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$
- $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$
- $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$
3. 商数关系
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
二、诱导公式（角度变换）
| 角度 | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $-\theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi + \theta$ | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $2\pi - \theta$ | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
三、和角与差角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(\alpha \pm \beta)$ | $\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ |
| $\cos(\alpha \pm \beta)$ | $\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$ |
| $\tan(\alpha \pm \beta)$ | $\frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$ |
四、倍角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin(2\theta)$ | $2\sin\theta\cos\theta$ |
| $\cos(2\theta)$ | $\cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| $\tan(2\theta)$ | $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
五、半角公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$ |
六、积化和差与和差化积公式
| 类型 | 公式 |
| 积化和差 | $\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$ $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$ $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$ |
| 和差化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ |
七、常用特殊角值
| 角度（°） | 弧度 | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 不存在 |
总结
三角函数恒等变形公式是数学中非常重要的内容，涵盖了从基础到高级的各种变换方式。通过熟练掌握这些公式，可以更高效地处理三角函数相关的题目。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解公式的应用背景，从而加深记忆和理解。
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