【如何证明垂径定理】垂径定理是圆几何中的一个重要定理，它在解决与圆相关的几何问题时具有广泛的应用。理解并掌握垂径定理的证明过程，有助于加深对圆性质的理解。
一、垂径定理
垂径定理：如果一条直径垂直于一条弦（非直径），那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
换句话说，垂直于弦的直径，必定平分这条弦及其所对的弧。
二、证明思路
1. 设定图形：设圆O中有一条弦AB，作一条直径CD，使得CD垂直于AB，并交AB于点E。
2. 连接线段：连接OA、OB、OC、OD。
3. 利用全等三角形：通过构造两个直角三角形△OAE和△OBE，证明它们全等。
4. 得出结论：由全等可得AE=BE，即CD平分AB；同时，弧AC=弧BC，即CD平分弧ACB。
三、证明步骤表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 设圆O中，弦AB，直径CD垂直于AB，交AB于点E |
| 2 | 连接OA、OB、OC、OD |
| 3 | 在△OAE和△OBE中，∠OEA = ∠OEB = 90°，OA = OB（半径相等） |
| 4 | OE为公共边，因此△OAE ≌ △OBE（HL全等） |
| 5 | 由全等得AE = BE，即CD平分弦AB |
| 6 | 因为OA = OB，所以弧AC = 弧BC，即CD平分弧ACB |
四、总结
垂径定理的证明依赖于全等三角形的判定方法，尤其是斜边-直角边（HL）定理。通过构造合适的三角形，可以清晰地展示出直径在垂直于弦时所具有的平分作用。这一结论不仅在理论上有重要意义，也在实际应用中（如工程测量、建筑设计等）具有广泛的用途。
关键词：垂径定理、圆、弦、直径、全等三角形、几何证明
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