【两向量垂直公式推导】在向量运算中，判断两个向量是否垂直是常见的问题。本文将从几何和代数两个角度出发，推导出两向量垂直的公式，并以加表格的形式展示关键内容。
一、基本概念
向量是具有大小和方向的数学对象，通常用有向线段表示。在二维或三维空间中，两个向量如果它们之间的夹角为90度，则称这两个向量垂直（也称为正交）。
二、垂直向量的定义
设向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 是二维平面上的两个向量，若它们的夹角为90°，则称 a ⊥ b（即 a 垂直于 b）。
三、公式推导
方法一：几何法（利用余弦定理）
根据余弦定理，在三角形中：
$$
$$
当 θ = 90° 时，cosθ = 0，因此：
$$
$$
展开左边：
$$
(a₁ - b₁)^2 + (a₂ - b₂)^2 = a₁^2 + a₂^2 + b₁^2 + b₂^2
$$
整理后可得：
$$
-2a₁b₁ - 2a₂b₂ = 0 \Rightarrow a₁b₁ + a₂b₂ = 0
$$
这说明两个向量的点积为零时，它们垂直。
方法二：代数法（点积定义）
在向量代数中，两个向量 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂) 的点积定义为：
$$
a \cdot b = a₁b₁ + a₂b₂
$$
若两向量垂直，则它们的点积为零：
$$
a \cdot b = 0 \Rightarrow a₁b₁ + a₂b₂ = 0
$$
四、结论总结
通过几何和代数两种方法，我们得出以下结论：
- 两个向量垂直的充要条件是它们的点积为零。
- 在二维空间中，若向量 a = (a₁, a₂) 与 b = (b₁, b₂) 垂直，则满足：
$$
a₁b₁ + a₂b₂ = 0
$$
五、公式对比表
| 内容 | 描述 |
| 向量垂直定义 | 两向量夹角为90° |
| 点积公式 | $ a \cdot b = a₁b₁ + a₂b₂ $ |
| 垂直条件 | $ a \cdot b = 0 $ |
| 几何依据 | 余弦定理中 cosθ = 0 时成立 |
| 适用范围 | 适用于二维和三维空间中的向量 |
六、实际应用举例
例如，向量 a = (3, 4) 和 b = (-4, 3) 是否垂直？
计算点积：
$$
a \cdot b = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
因此，这两个向量垂直。
通过上述推导与总结，我们可以清晰地理解两向量垂直的数学原理及其应用方式。
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