【sinx的平方的导数】在微积分的学习中，求函数的导数是一个基本且重要的内容。其中，“sinx的平方”的导数是常见的题目之一。本文将从基本原理出发，总结出该函数的导数，并通过表格形式清晰展示计算过程和结果。
一、函数解析
函数为：
$$ y = (\sin x)^2 $$
这是一个复合函数，由外层函数 $ u^2 $ 和内层函数 $ u = \sin x $ 构成。因此，我们需要使用链式法则来求导。
二、导数计算步骤
1. 设中间变量：令 $ u = \sin x $，则原函数变为 $ y = u^2 $
2. 对u求导：$ \frac{dy}{du} = 2u $
3. 对x求导：$ \frac{du}{dx} = \cos x $
4. 应用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot \cos x
$$
5. 代回原变量：
$$
\frac{dy}{dx} = 2\sin x \cdot \cos x
$$
三、简化表达式
根据三角恒等式：
$$
2\sin x \cos x = \sin(2x)
$$
因此，可以进一步简化导数为：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = \sin(2x)
$$
四、总结与对比
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 设定函数 | $ y = (\sin x)^2 $ |
| 2 | 分解为复合函数 | 外层：$ u^2 $，内层：$ u = \sin x $ |
| 3 | 对外层求导 | $ \frac{dy}{du} = 2u $ |
| 4 | 对内层求导 | $ \frac{du}{dx} = \cos x $ |
| 5 | 应用链式法则 | $ \frac{dy}{dx} = 2u \cdot \cos x $ |
| 6 | 代入原变量 | $ \frac{dy}{dx} = 2\sin x \cos x $ |
| 7 | 简化表达式 | $ \frac{dy}{dx} = \sin(2x) $ |
五、结论
“sinx的平方”的导数为：
$$
\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x \cos x = \sin(2x)
$$
这一结果不仅可以通过链式法则得出，还可以利用三角恒等式进行简化，便于后续的应用和计算。理解这一过程有助于掌握复合函数的求导方法，是学习微积分的重要基础。
