【雅可比迭代法定义】雅可比迭代法是一种用于求解线性方程组的数值方法，属于迭代法的一种。该方法由德国数学家卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）提出，适用于系数矩阵为对角占优或严格对角占优的情况。其基本思想是通过将线性方程组转化为迭代公式，逐步逼近方程组的解。
与高斯-赛德尔迭代法不同，雅可比迭代法在每次迭代中使用的是前一次迭代的所有变量值，而不是当前迭代中已更新的值。因此，它在计算过程中需要保存前一次迭代的所有数据。
雅可比迭代法的基本步骤
1. 将线性方程组写成标准形式：
$$
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
$$
其中 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的矩阵，$ \mathbf{x} $ 和 $ \mathbf{b} $ 是列向量。
2. 将矩阵 $ A $ 分解为对角矩阵 $ D $、下三角矩阵 $ L $ 和上三角矩阵 $ U $：
$$
A = D - L - U
$$
3. 构造迭代公式：
$$
\mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1}(L + U)\mathbf{x}^{(k)} + D^{-1}\mathbf{b}
$$
4. 选择初始猜测 $ \mathbf{x}^{(0)} $，并进行迭代，直到满足收敛条件。
雅可比迭代法的特点总结
| 特点 | 描述 |
| 适用条件 | 系数矩阵为对角占优或严格对角占优时收敛性较好 |
| 收敛性 | 若矩阵严格对角占优，则一定收敛；否则可能不收敛 |
| 计算方式 | 每次迭代使用前一次的全部变量值 |
| 并行性 | 各变量之间相互独立，适合并行计算 |
| 简单性 | 算法结构简单，易于实现 |
| 效率 | 相较于高斯-赛德尔法，收敛速度较慢 |
表格对比：雅可比迭代法 vs 高斯-赛德尔迭代法
| 对比项 | 雅可比迭代法 | 高斯-赛德尔迭代法 |
| 迭代公式 | 使用前一次的全部值 | 使用当前迭代的最新值 |
| 收敛速度 | 较慢 | 通常更快 |
| 并行性 | 高 | 低 |
| 存储需求 | 需要两个向量存储前后迭代结果 | 只需一个向量 |
| 实现难度 | 简单 | 稍复杂 |
| 适用场景 | 适合并行计算、对收敛速度要求不高的问题 | 适合串行计算、对收敛速度要求较高的问题 |
总结：
雅可比迭代法是一种基础且实用的数值方法，特别适用于对角占优的线性方程组。尽管其收敛速度不如高斯-赛德尔法，但因其结构简单、并行性强，在某些应用场景中仍具有重要价值。
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