【sinx的平方的原函数与xosx的平方的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数是基本且重要的操作。对于一些常见的三角函数如 $ \sin^2 x $ 和 $ \cos^2 x $，它们的原函数可以通过三角恒等式进行简化，从而更容易求解。
下面我们将对这两个函数的原函数进行总结，并通过表格形式展示其计算过程和结果。
一、$ \sin^2 x $ 的原函数
我们知道，三角函数的平方可以通过降幂公式进行转换：
$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
$$
因此，我们可以将原函数拆分为两个更简单的部分：
$$
\int \sin^2 x \, dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx - \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx
$$
分别计算：
- $ \int 1 \, dx = x $
- $ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) $
所以，
$$
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin(2x) + C
$$
二、$ \cos^2 x $ 的原函数
同样地，我们使用降幂公式：
$$
\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}
$$
于是，
$$
\int \cos^2 x \, dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int 1 \, dx + \frac{1}{2} \int \cos(2x) \, dx
$$
计算得：
- $ \int 1 \, dx = x $
- $ \int \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} \sin(2x) $
所以，
$$
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C
$$
三、总结与对比表
| 函数 | 原函数表达式 | 积分结果（含常数项） |
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{1 - \cos(2x)}{2} $ | $ \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\sin(2x) + C $ |
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{1 + \cos(2x)}{2} $ | $ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C $ |
四、小结
通过对 $ \sin^2 x $ 和 $ \cos^2 x $ 的原函数进行分析，可以看出它们的积分形式非常相似，只是符号不同。这种对称性源于三角函数的基本性质，也说明了数学中的规律性和统一性。掌握这些基础积分技巧，有助于进一步理解和应用更复杂的积分问题。
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