【等比数列和等差数列所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们在数列、级数、金融计算以及许多实际问题中都有广泛应用。为了方便学习和查阅，下面对等差数列和等比数列的所有常用公式进行总结，并以表格形式呈现。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 计算前n项的总和 |
| 中项公式 | 若 $ a, b, c $ 成等差，则 $ b = \frac{a + c}{2} $ | 中间项为前后两项的平均值 |
二、等比数列（Geometric Sequence）
等比数列是指从第二项开始，每一项与前一项的比为一个常数的数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 | ||
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当 $ | r | < 1 $ 时，可求无限项和 $ S = \frac{a_1}{1 - r} $ |
| 中项公式 | 若 $ a, b, c $ 成等比，则 $ b^2 = ac $ | 中间项的平方等于前后两项的乘积 |
三、等差数列与等比数列对比表
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 公差/公比 | $ d = a_{n+1} - a_n $ | $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $ |
| 特殊情况 | 若 $ d = 0 $，则为常数列 | 若 $ r = 1 $，则为常数列 |
四、应用示例
例1：等差数列
已知首项 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第5项和前5项和。
- 第5项：$ a_5 = 3 + (5 - 1) \times 2 = 11 $
- 前5项和：$ S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = 40 $
例2：等比数列
已知首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $，求第4项和前4项和。
- 第4项：$ a_4 = 2 \times 3^{3} = 54 $
- 前4项和：$ S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{-80}{-2} = 80 $
五、总结
等差数列和等比数列是数列学习中的基础内容，掌握它们的通项公式、前n项和公式以及相关性质，对于解决实际问题具有重要意义。通过上述表格和实例，可以更清晰地理解两者之间的区别与联系，便于记忆和应用。
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