【多面体的外接球和内切球秒杀公式】在几何学习中，多面体的外接球与内切球问题是常见的考点，尤其在立体几何、竞赛题及高考中频繁出现。掌握一些“秒杀”公式可以极大提高解题效率，减少繁琐计算。
以下是对常见多面体外接球与内切球公式的总结，结合具体实例进行说明，便于理解和记忆。
一、基本概念
- 外接球：经过多面体所有顶点的球。
- 内切球：与多面体所有面都相切的球。
二、常见多面体的外接球与内切球公式
| 多面体类型 | 外接球半径公式（R） | 内切球半径公式（r） | 备注 |
| 正四面体 | $ R = \frac{\sqrt{6}}{4}a $ | $ r = \frac{\sqrt{6}}{12}a $ | a为边长 |
| 正方体 | $ R = \frac{\sqrt{3}}{2}a $ | $ r = \frac{a}{2} $ | a为边长 |
| 长方体 | $ R = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} $ | 无内切球（除非为正方体） | a, b, c为长宽高 |
| 正八面体 | $ R = \frac{\sqrt{2}}{2}a $ | $ r = \frac{\sqrt{6}}{6}a $ | a为边长 |
| 正十二面体 | $ R = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{4}a $ | $ r = \frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}a $ | a为边长 |
| 正二十面体 | $ R = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}a $ | $ r = \frac{\sqrt{47+22\sqrt{5}}}{12}a $ | a为边长 |
三、应用技巧
1. 正四面体：若已知体积或表面积，可通过体积公式反推边长，再代入外接/内切球公式。
2. 正方体与长方体：外接球半径可直接通过对角线长度除以2得到。
3. 正多面体：对于非正多面体，需先判断是否具有外接球或内切球，再使用特定方法求解。
四、例题解析
例题1：一个正四面体的边长为2，求其外接球半径和内切球半径。
解：
- 外接球半径：
$ R = \frac{\sqrt{6}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{6}}{2} $
- 内切球半径：
$ r = \frac{\sqrt{6}}{12} \times 2 = \frac{\sqrt{6}}{6} $
例题2：一个长方体的长宽高分别为3、4、5，求其外接球半径。
解：
- 外接球半径：
$ R = \frac{1}{2} \times \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \frac{1}{2} \times \sqrt{50} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $
五、小结
掌握这些“秒杀”公式，能够在短时间内解决大部分关于多面体外接球和内切球的问题，尤其适用于考试中的选择题和填空题。建议在熟练掌握公式的基础上，结合几何图形理解其来源，避免死记硬背。
如需进一步拓展，可结合空间向量、坐标法等方法进行更深入的学习。
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