【高中数学期望公式】在高中数学中，期望是一个重要的概率概念，常用于描述随机变量的平均结果。期望值可以帮助我们预测在大量重复试验中，某事件的平均表现。以下是关于高中数学中常见期望公式的总结。
一、基本概念
期望（Expected Value）：对于一个随机变量 $ X $，其期望值 $ E(X) $ 表示在多次独立重复试验中，$ X $ 的平均取值。
二、期望的计算公式
1. 离散型随机变量的期望公式：
设离散型随机变量 $ X $ 的可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则：
$$
E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
2. 连续型随机变量的期望公式：
若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f(x) $，则期望为：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx
$$
不过，在高中阶段通常只涉及离散型随机变量。
三、期望的性质
| 性质 | 公式 | 说明 |
| 线性性 | $ E(aX + b) = aE(X) + b $ | $ a $、$ b $ 为常数 |
| 期望的和 | $ E(X + Y) = E(X) + E(Y) $ | 适用于任意两个随机变量 |
| 期望的积 | 若 $ X $ 与 $ Y $ 独立，则 $ E(XY) = E(X)E(Y) $ | 非独立时不成立 |
四、常见分布的期望
| 分布名称 | 随机变量 | 期望公式 | 说明 |
| 两点分布（伯努利分布） | $ X \sim B(1, p) $ | $ E(X) = p $ | 成功概率为 $ p $ |
| 二项分布 | $ X \sim B(n, p) $ | $ E(X) = np $ | 重复 $ n $ 次独立试验的成功次数 |
| 超几何分布 | $ X \sim H(N, K, n) $ | $ E(X) = \frac{nK}{N} $ | 从有限总体中无放回抽样 |
| 均匀分布 | $ X \sim U(a, b) $ | $ E(X) = \frac{a + b}{2} $ | 在区间 $ [a, b] $ 上均匀分布 |
| 正态分布 | $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $ | $ E(X) = \mu $ | 平均值即为期望 |
五、应用举例
例题：一个袋子里有 3 个红球和 2 个蓝球，从中随机抽取一个球，若抽到红球得 2 分，抽到蓝球得 1 分，求得分的期望。
解：
- 抽到红球的概率为 $ \frac{3}{5} $，得分为 2；
- 抽到蓝球的概率为 $ \frac{2}{5} $，得分为 1；
所以期望为：
$$
E(X) = 2 \times \frac{3}{5} + 1 \times \frac{2}{5} = \frac{6}{5} + \frac{2}{5} = \frac{8}{5} = 1.6
$$
六、总结
期望是概率统计中的核心概念之一，尤其在高中数学中，掌握其基本公式和性质对理解随机现象具有重要意义。通过表格可以清晰地看到不同分布下的期望表达方式，有助于灵活运用。
| 内容 | 说明 |
| 期望定义 | 随机变量的平均值 |
| 离散型公式 | $ E(X) = \sum x_i p_i $ |
| 连续型公式 | $ E(X) = \int x f(x) dx $ |
| 常见分布期望 | 二项、超几何、正态等 |
| 应用 | 实际问题建模、风险评估、决策分析 |
通过以上内容的学习，学生可以更好地理解和应用期望公式，提高解决实际问题的能力。
以上就是【高中数学期望公式】相关内容，希望对您有所帮助。
