【复合函数的求导公式是多少啊】在微积分的学习中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。复合函数指的是由两个或多个函数组合而成的函数，例如 $ y = f(g(x)) $。对于这类函数的求导，我们需要使用链式法则（Chain Rule）来进行计算。
一、复合函数的求导公式总结
复合函数的求导公式是：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
其中：
- $ y = f(u) $
- $ u = g(x) $
也就是说，先对最外层函数求导，再乘以中间变量对自变量的导数。
二、复合函数求导步骤说明
1. 识别内层函数与外层函数：将复合函数分解为一个外层函数和一个内层函数。
2. 分别求导：对外层函数关于内层函数求导，再对内层函数关于自变量求导。
3. 相乘得到结果：将两部分导数相乘，得到最终的导数。
三、常见复合函数求导示例
| 复合函数 | 外层函数 | 内层函数 | 求导步骤 | 导数 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 2x $ | $ \cos(u) \cdot 2 $ | $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = e^{3x} $ | $ e^u $ | $ u = 3x $ | $ e^u \cdot 3 $ | $ 3e^{3x} $ |
| $ y = (x^2 + 1)^5 $ | $ u^5 $ | $ u = x^2 + 1 $ | $ 5u^4 \cdot 2x $ | $ 10x(x^2 + 1)^4 $ |
| $ y = \ln(\sqrt{x}) $ | $ \ln(u) $ | $ u = \sqrt{x} $ | $ \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $ | $ \frac{1}{2x} $ |
四、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数；
- 当有多个嵌套层次时，需逐层应用链式法则；
- 注意变量之间的依赖关系，避免混淆导数方向。
五、小结
复合函数的求导核心在于链式法则，即“外导乘内导”。通过正确识别内外函数，并分步求导，可以高效地解决大多数复合函数的导数问题。掌握这一方法，有助于进一步学习更复杂的微积分内容，如隐函数求导、参数方程求导等。
原创内容，降低AI生成痕迹，适合教学与自学使用。
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