【高阶导数十个常用公式】在微积分的学习过程中，高阶导数是一个重要的概念，广泛应用于数学分析、物理和工程等领域。掌握一些常见的高阶导数公式，有助于提高解题效率，加深对函数变化规律的理解。以下是对若干常见函数的高阶导数公式的总结，便于查阅和记忆。
一、基本函数的高阶导数
| 函数 | 一阶导数 | 二阶导数 | 三阶导数 | n 阶导数（n≥1） |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ | $ n(n-1)x^{n-2} $ | $ n(n-1)(n-2)x^{n-3} $ | $ \frac{n!}{(n-k)!}x^{n-k} $（当 k ≤ n 时） |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ | $ a^x (\ln a)^2 $ | $ a^x (\ln a)^3 $ | $ a^x (\ln a)^n $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ | $ -\cos x $ | $ \sin x $ | $ \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | $ -\frac{1}{x^2} $ | $ \frac{2}{x^3} $ | $ (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n} $ |
二、复合函数的高阶导数
对于复合函数 $ f(g(x)) $，其高阶导数可以通过莱布尼茨法则进行展开，但具体形式较为复杂。例如：
- 一阶导数：$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $
- 二阶导数：$ f''(g(x)) \cdot [g'(x)]^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x) $
一般情况下，高阶导数可使用递推公式或泰勒展开进行计算，适用于更复杂的函数组合。
三、特殊函数的高阶导数
| 函数 | n 阶导数公式 |
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} $ |
| $ f(x) = \frac{1}{x-a} $ | $ (-1)^n \frac{n!}{(x-a)^{n+1}} $ |
| $ f(x) = \sin(ax + b) $ | $ a^n \sin(ax + b + \frac{n\pi}{2}) $ |
| $ f(x) = \cos(ax + b) $ | $ a^n \cos(ax + b + \frac{n\pi}{2}) $ |
四、小结
高阶导数是研究函数局部变化率的重要工具，尤其在物理建模、数值分析和微分方程中具有广泛应用。掌握上述常用函数的高阶导数公式，能够显著提升解题效率与理解深度。建议结合实际问题进行练习，以巩固相关知识。
提示：在实际应用中，若遇到较复杂的函数，建议使用泰勒级数展开或计算机代数系统辅助计算，避免手动推导出错。
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