【高中函数求值域的九种方法和例题讲解】在高中数学中，函数的值域是函数的重要属性之一，它表示函数所有可能的输出值的集合。掌握求值域的方法，有助于我们更好地理解函数的变化趋势和应用范围。以下是常见的九种求值域的方法，并附有对应的例题讲解。
一、九种求值域的方法总结
| 方法名称 | 适用对象 | 原理简述 | 举例说明 |
| 1. 配方法 | 二次函数 | 通过配平方将函数转化为顶点式，确定最大或最小值 | $ y = x^2 - 4x + 5 $ 的值域为 $ [1, +\infty) $ |
| 2. 换元法 | 复杂函数（如根号、分式等） | 引入新变量简化原函数，便于分析 | $ y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} $ 可令 $ t = x^2 - 4x + 3 $ 分析其取值范围 |
| 3. 数形结合法 | 图像易画出的函数 | 利用函数图像直观判断值域 | $ y = \sin x $ 的值域为 $ [-1, 1] $ |
| 4. 不等式法 | 含有不等关系的函数 | 利用不等式性质推导值域 | $ y = x + \frac{1}{x} $（$ x > 0 $）的值域为 $ [2, +\infty) $ |
| 5. 逆向求解法 | 分式、复合函数等 | 将函数表达式变形，反求自变量的取值范围 | $ y = \frac{x+1}{x-2} $ 的值域为 $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $ |
| 6. 极值法 | 连续可导函数 | 利用导数求极值点，判断函数的最大或最小值 | $ y = x^3 - 3x $ 的值域为全体实数 |
| 7. 单调性法 | 单调函数 | 根据函数的单调性判断值域 | $ y = \log_2(x) $ 的值域为 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 8. 分段函数法 | 分段定义的函数 | 对每一段分别求值域，再合并 | $ y = \begin{cases} x+1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases} $ 的值域为 $ (-\infty, +\infty) $ |
| 9. 函数的有界性 | 三角函数、指数函数等 | 利用已知函数的有界性直接得出值域 | $ y = e^x $ 的值域为 $ (0, +\infty) $ |
二、例题讲解
例题1：配方法
题目：求函数 $ y = x^2 - 4x + 5 $ 的值域。
解法：
将函数配方：
$$
y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1
$$
因为 $ (x - 2)^2 \geq 0 $，所以 $ y \geq 1 $。
值域：$ [1, +\infty) $
例题2：换元法
题目：求函数 $ y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} $ 的值域。
解法：
令 $ t = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 $，则 $ t \geq -1 $。
但因为根号下必须非负，所以 $ t \geq 0 $，即 $ x^2 - 4x + 3 \geq 0 $。
解得 $ x \leq 1 $ 或 $ x \geq 3 $，此时 $ t \geq 0 $，因此 $ y \geq 0 $。
值域：$ [0, +\infty) $
例题3：不等式法
题目：求函数 $ y = x + \frac{1}{x} $（$ x > 0 $）的值域。
解法：
利用不等式 $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $（当且仅当 $ x = 1 $ 时取等号），
因此 $ y \geq 2 $。
值域：$ [2, +\infty) $
例题4：逆向求解法
题目：求函数 $ y = \frac{x+1}{x-2} $ 的值域。
解法：
令 $ y = \frac{x+1}{x-2} $，整理得：
$$
y(x - 2) = x + 1 \Rightarrow yx - 2y = x + 1 \Rightarrow (y - 1)x = 2y + 1
$$
若 $ y \neq 1 $，则 $ x = \frac{2y + 1}{y - 1} $，存在实数解。
当 $ y = 1 $ 时，方程无解。
值域：$ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $
三、总结
以上九种方法是高中阶段求函数值域的常用手段，具体使用哪种方法取决于函数的形式和特征。建议多练习不同类型的函数，熟悉各种方法的应用场景，从而提高解题效率与准确性。
在实际考试中，往往需要结合多种方法进行综合分析，才能准确得出函数的值域。希望本篇内容能帮助你系统地掌握求值域的技巧，提升数学能力。
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