【多项式除多项式的公式】在代数运算中，多项式除以多项式是一个常见的操作，尤其在因式分解、简化表达式以及求解方程时具有重要作用。多项式除法通常采用“长除法”或“综合除法”的方式完成，其核心思想是将被除式逐步分解为商与余式之和。
以下是对多项式除多项式方法的总结，并通过表格形式清晰展示其步骤与关键点。
一、多项式除多项式的定义
设两个多项式分别为 $ f(x) $（被除式）和 $ g(x) $（除式），其中 $ g(x) \neq 0 $，则存在唯一的多项式 $ q(x) $（商）和 $ r(x) $（余式），使得：
$$
f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x)
$$
其中，$ \deg(r(x)) < \deg(g(x)) $ 或 $ r(x) = 0 $。
二、多项式除法的基本步骤
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 将被除式和除式按降幂排列，若某项缺失，则系数为0。 |
| 2 | 用除式的首项除以被除式的首项，得到商的第一项。 |
| 3 | 将该商项乘以整个除式，得到中间结果。 |
| 4 | 从被除式中减去该中间结果，得到新的被除式。 |
| 5 | 重复步骤2至4，直到余式的次数小于除式的次数。 |
三、多项式除法示例
例：
用 $ x^2 + 3x + 2 $ 除以 $ x + 1 $
步骤如下：
1. 被除式：$ x^2 + 3x + 2 $
除式：$ x + 1 $
2. 首项相除：$ x^2 ÷ x = x $，即商的第一项为 $ x $。
3. 乘法：$ x \cdot (x + 1) = x^2 + x $
4. 减法：$ (x^2 + 3x + 2) - (x^2 + x) = 2x + 2 $
5. 再次首项相除：$ 2x ÷ x = 2 $，即商的第二项为 $ 2 $。
6. 乘法：$ 2 \cdot (x + 1) = 2x + 2 $
7. 减法：$ (2x + 2) - (2x + 2) = 0 $
结果：
商为 $ x + 2 $，余式为 $ 0 $，即 $ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) $
四、多项式除法的关键公式总结
| 项目 | 公式 |
| 多项式除法基本等式 | $ f(x) = g(x) \cdot q(x) + r(x) $ |
| 商与余式关系 | $ \deg(r(x)) < \deg(g(x)) $ 或 $ r(x) = 0 $ |
| 除法步骤（简述） | 首项相除 → 乘法 → 减法 → 重复直至余式次数较低 |
五、注意事项
- 若余式为零，说明除式是被除式的因式。
- 在实际计算中，需注意符号的变化，尤其是在减法过程中。
- 对于高次多项式，可考虑使用综合除法（适用于一次除式）来提高效率。
总结
多项式除多项式是一种基础但重要的代数运算，掌握其原理与步骤有助于更深入地理解多项式的结构与性质。通过系统化的方法和清晰的步骤，可以有效提升计算的准确性和效率。
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