【空间向量公式】在三维几何中，空间向量是描述点、线、面之间关系的重要工具。通过向量运算，可以解决许多几何问题，如距离计算、角度求解、平面方程推导等。以下是对空间向量相关公式的总结，结合文字说明与表格形式进行展示。
一、基本概念
空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的量，通常用坐标表示为 $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $。向量可以用于表示位移、力、速度等物理量。
二、常用公式总结
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||||||
| 向量加法 | $ \vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z) $ | 两个向量相加后得到的新向量 | ||||||
| 向量减法 | $ \vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z) $ | 两个向量相减后得到的新向量 | ||||||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} $ | 表示向量的长度或大小 | ||||
| 向量点积（数量积） | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z $ | 结果是一个标量，可用于求夹角或投影 | ||||||
| 向量叉积（向量积） | $ \vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) $ | 结果是一个垂直于两向量所在平面的向量 | ||||||
| 点积公式（余弦形式） | $ \vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta $ | 用于计算两向量之间的夹角 | |||
| 叉积模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta $ | 表示两向量所形成的平行四边形面积 | |
| 向量单位化 | $ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | } $ | 将向量转换为单位向量 | ||||
| 向量投影 | $ \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \right) \vec{b} $ | 表示向量 $ \vec{a} $ 在 $ \vec{b} $ 方向上的投影 |
三、应用举例
1. 求两点间距离：
若点 A 为 $ (x_1, y_1, z_1) $，点 B 为 $ (x_2, y_2, z_2) $，则向量 $ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) $，其长度为
$$
2. 求两向量夹角：
利用点积公式：
$$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{
3. 求平面方程：
已知平面上一点 $ P_0(x_0, y_0, z_0) $ 和法向量 $ \vec{n} = (a, b, c) $，则平面方程为：
$$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$
四、小结
空间向量是解析几何与物理中不可或缺的工具，掌握其基本运算和应用能有效提高对三维问题的理解和解决能力。上述公式涵盖了从基础运算到实际应用的多个方面，便于快速查阅与使用。
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