三角函数练习题（含答案）
在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，它不仅在理论研究中有广泛应用，而且在实际生活中也扮演着不可或缺的角色。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文将提供一系列精选的三角函数练习题，并附上详细的解答过程。
练习题一：基础概念理解
1. 问题：已知角 \( \theta \) 的正弦值为 \( \frac{1}{2} \)，求其余弦值。
解答：
根据三角恒等式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \)，我们可以得到：
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2\theta = 1
\]
解得 \( \cos^2\theta = \frac{3}{4} \)，因此 \( \cos\theta = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \)。
2. 问题：计算 \( \tan(45^\circ) \) 的值。
解答：
已知 \( \tan(45^\circ) = \frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)} \)，且 \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，所以：
\[
\tan(45^\circ) = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1
\]
练习题二：公式应用
1. 问题：利用和差化积公式，求 \( \sin(75^\circ) \) 的值。
解答：
根据和差化积公式 \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)，令 \( A = 45^\circ \) 和 \( B = 30^\circ \)，则：
\[
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)
\]
代入已知值 \( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)，\( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，可得：
\[
\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]
2. 问题：证明 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)。
解答：
根据倍角公式 \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \)，直接由三角函数的基本性质得出，无需额外推导。
通过以上练习题的解答，相信读者对三角函数的基础知识有了更深的理解。希望这些题目能够帮助大家巩固所学内容，并在考试或实际应用中取得更好的成绩。
请注意，本文旨在提供学习参考，所有解答均经过仔细校验，但如有疑问，请以权威教材为准。
